अल्पतम वर्ग विधि, व्यवसाय गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

कम से कम वर्गों की विधि: यदि डेटा के लिए एक सीधी रेखा को फिट किया जाता है, तो यह एक संतोषजनक प्रवृत्ति के रूप में कार्य करेगी। सबसे सटीक फिटिंग विधियों में से एक कम से कम वर्गों की विधि है। यह विधि दो परिणाम प्राप्त करने के लिए डिज़ाइन की गई है: (i) सीधी रेखा से ऊर्ध्वाधर विचलनों का योग शून्य होना चाहिए। (ii) सभी विचलनों के वर्गों का योग किसी अन्य संभावित सीधी रेखा के वर्गों के योग से कम होना चाहिए। कई सीधी रेखाएँ होंगी जो पहले शर्त को पूरा कर सकती हैं। सभी विभिन्न रेखाओं में, केवल एक रेखा दूसरी शर्त को संतोषजनक रूप से पूरा करेगी। इसी दूसरी शर्त के कारण इस विधि को कम से कम वर्गों की विधि कहा जाता है। यह उल्लेख करना उचित है कि दूसरी शर्त को पूरा करने के लिए फिट की गई रेखा स्वचालित रूप से पहली शर्त को भी पूरा करेगी। एक सीधी रेखा की प्रवृत्ति का सूत्र सबसे सरल रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

Yc = a + bX जहाँ X समय चर का प्रतिनिधित्व करता है, Yc वह निर्भर चर है जिसके लिए प्रवृत्ति के मानों की गणना की जानी है और a और b उन स्थिरांकों हैं जिन्हें कम से कम वर्गों की विधि द्वारा खोजा जाना है। स्थिरांक Y-intercept है। यह मूल बिंदु (O) और प्रवृत्ति रेखा और Y-अक्ष के इंटरसेक्ट बिंदु के बीच का अंतर है। यह Y के मान को दर्शाता है जब X = 0 होता है, स्थिरांक b ढलान को इंगित करता है जो X में प्रत्येक इकाई परिवर्तन के लिए Y में परिवर्तन है। मान लीजिए कि हमें n वर्षों के लिए Y का अवलोकन दिया गया है। यदि हम स्थिरांकों a और b के मानों को इस प्रकार खोजना चाहते हैं कि उपरोक्त दो शर्तों को फिट की गई समीकरण द्वारा पूरा किया जाए। गणितीय तर्क यह सुझाव देता है कि, कम से कम वर्गों के सिद्धांत के अनुसार स्थिरांकों a और b के मान प्राप्त करने के लिए, हमें निम्नलिखित दो समीकरणों को एक साथ हल करना होगा।

∑Y = na b∑Y ...(i) ∑XY = a∑X b∑X2 ...(ii)

दो सामान्य समीकरणों का समाधान स्थिरांक a और b के लिए निम्नलिखित मान प्रदान करता है: b =

और a =

लीस्ट स्क्वायर लॉन्ग मेथड: यह उपरोक्त दो सामान्य समीकरणों का उपयोग करता है बिना समय परिवर्तक को सुविधाजनक मध्य-वर्ष में स्थानांतरित किए। इस विधि को निम्नलिखित उदाहरण द्वारा स्पष्ट किया गया है।

उदाहरण: निम्नलिखित आंकड़ों पर लीनियर ट्रेंड कर्व को लिस्ट स्क्वेयर विधि द्वारा फिट करें:

वर्ष उत्पादन (किलोग्राम)

• 2001: 3
• 2002: 5
• 2003: 6
• 2004: 6
• 2005: 8
• 2006: 10
• 2007: 11
• 2008: 12
• 2009: 13
• 2010: 15

समाधान: पहले वर्ष 2001 को 0 माना जाता है, 2002 को 1, 2003 को 2 और इसी तरह आगे। विभिन्न चरणों को निम्नलिखित तालिका में दर्शाया गया है।

----------------------------------------------------

वर्ष उत्पादन Y X XY X²

----------------------------------------------------

• 2001: 3, 0, 0, 0
• 2002: 5, 1, 5, 1
• 2003: 6, 2, 12, 4
• 2004: 6, 3, 18, 9
• 2005: 8, 4, 32, 16
• 2006: 10, 5, 50, 25
• 2007: 11, 6, 66, 36
• 2008: 12, 7, 84, 49
• 2009: 13, 8, 104, 64
• 2010: 15, 9, 135, 81

कुल: 89, 45, 506, 285

-----------------------------------------------------

उपर्युक्त तालिका निम्नलिखित विभिन्न मानों को उत्पन्न करती है: n = 10, ∑X = 45, ∑X² = 285, ∑Y = 89, और ∑XY = 506

इन मानों को दो सामान्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: 89 = 10a + 45b ...(i) 506 = 45a + 285b ...(ii) समीकरण (i) को 9 से और समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है: 80l = 90a + 405b ...(iii) 1012 = 90a + 570b ...(iv) समीकरण (iii) को समीकरण (iv) से घटाने पर हमें प्राप्त होता है: 211 = 165b या b = 211/165 = 1.28 समीकरण (i) में b के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: 89 = 10a + 45 × 1.28 89 = 10a + 57.60 10a = 89 – 57.6 10a = 31.4 a = 31.4/10 = 3.14 a और b के इन मानों को रैखिक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: Yc = 3.14 + 1.28X

इस समीकरण में विभिन्न मानों को X डालने पर, हमें नीचे दिए गए प्रवृत्ति मान प्राप्त होते हैं:

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वर्ष | अवलोकित Y | bxX | Yc (कॉलम 3 प्लस कॉलम 4)
1 | 2 | 3 | 4 | 5

-----------------------------------------------------------------

2001 | 3 | 3.14 | 1.28 × 0 | 3.14

2002 | 5 | 3.14 | 1.28 × 1 | 4.42

2003 | 6 | 3.14 | 1.28 × 2 | 5.70

2004 | 6 | 3.14 | 1.28 × 3 | 6.98

2005 | 8 | 3.14 | 1.28 × 4 | 8.26

2006 | 10 | 3.14 | 1.28 × 5 | 9.54

2007 | 11 | 3.14 | 1.28 × 6 | 10.82

2008 | 12 | 3.14 | 1.28 × 7 | 12.10

2009 | 13 | 3.14 | 1.28 × 8 | 13.38

2010 | 15 | 3.14 | 1.28 × 9 | 14.66

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कम से कम वर्गों की विधि: हम किसी अन्य वर्ष को मूल (origin) मान सकते हैं, और उस वर्ष के लिए X 0 होगा। यदि मूल को संपूर्ण श्रृंखला के समय अंतराल के मध्य में लिया जाए, तो समय और प्रयास में काफी बचत संभव है। मूल तब X मानों के औसत पर स्थित होगा। X मानों का योग तब 0 होगा। दो सामान्य समीकरण तब सरल हो जाएंगे:

∑Y = Na ...(i) या a = और ∑XY = b∑X² या b = ...(ii) दो शॉर्टकट विधियों के मामले नीचे दिए गए हैं। पहले मामले में वर्षों की संख्या विषम है, जबकि दूसरे मामले में अवलोकनों की संख्या सम है।

उदाहरण: निम्नलिखित डेटा पर एक सीधी रेखा प्रवृत्ति फिट करें:

वर्ष | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004
Y | 4 | 7 | 7 | 8 | 9 | 11 | 13 | 14 | 17

हल: चूंकि हमारे पास 9 अवलोकन हैं, इसलिए, मूल को 2000 पर लिया गया है, जिसके लिए X को 0 माना गया है।

वर्ष Y X XY X²

------------------------------ 1996 4 - 4 - 16 16 1997 7 - 3 - 21 9 1998 7 - 2 - 14 4 1999 8 - 1 - 8 1 2000 9 0 0 0 2001 11 1 11 1 2002 13 2 26 4 2003 14 3 42 9 2004 17 4 68 16

----------------------------- कुल 90 0 88 60

इस प्रकार n = 9, SY = 90, SX = 0, SXY = 88, और SX² = 60। इन मानों को दो सामान्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: 90 = 9a या a = 90/9 या a = 10, 88 = 60 या b = 88/60 या b = 1.47। प्रवृत्ति समीकरण है: Y_c = 10 + 1.47X। X के विभिन्न मानों को सम्मिलित करने पर, हमें प्रवृत्ति मान प्राप्त होते हैं:

समाधान: यहाँ दो मध्य वर्ष हैं, अर्थात; 2006 और 2007। इन दो वर्षों का मध्य बिंदु 0 माना जाता है और छह महीने का समय इकाई के रूप में लिया जाता है। इस आधार पर गणनाएँ निम्नलिखित हैं:

वर्ष अवलोकित Y X XY X²

---------------------------------------------- 2003 6.7 - 7 - 46.9 49 2004 5.3 - 5 - 26.5 25 2005 4.3 - 3 - 12.9 9 2006 6.1 - 1 - 6.1 1 2007 5.6 1 5.6 1 2008 7.9 3 23.7 9 2009 5.8 5 29.0 25 2010 6.1 7 42.7 49

---------------------------------------------- कुल 47.8 0 8.6 168

उपरोक्त गणनाओं से, हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं: n = 8, ∑Y = 47.8, ∑X = 0, ∑XY = 8.6, ∑X² = 168। इन मानों को दो सामान्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: 47.8 = 8a या a = 47.8/8 या a = 5.98 और 8.6 = 168b या b = 8.6/168 या b = 0.051। प्रवृत्ति रेखा का समीकरण है: Y_c = 5.98 + 0.051X। इस समीकरण द्वारा उत्पन्न प्रवृत्ति मान नीचे दिए गए हैं:

द्वितीय डिग्री पैराबोला: गैर-रेखीय प्रवृत्ति का सबसे सरल उदाहरण द्वितीय डिग्री का पैराबोला है, जिसका समीकरण इस रूप में लिखा गया है: Y_c = a + bX + cX²। जब a, b और c के लिए संख्यात्मक मान प्राप्त कर लिए जाते हैं, तो किसी भी वर्ष के लिए प्रवृत्ति मान की गणना समीकरण में उस वर्ष के X के मान को प्रतिस्थापित करके की जा सकती है। a, b और c के मान निम्नलिखित तीन सामान्य समीकरणों को एक साथ हल करके निर्धारित किए जा सकते हैं: (i) ∑Y = Na + bSX + c∑X² (ii) ∑XY = a∑X + b∑X² + c∑X³ (iii) ∑X²Y = a∑X² + b∑X³ + c∑X⁴। ध्यान दें कि पहला समीकरण दिए गए कार्य का केवल योग है, दूसरा समीकरण X के साथ दिए गए कार्य का गुणा करके उसका योग है, और तीसरा समीकरण X² के साथ दिए गए कार्य का गुणा करके उसका योग है। जब समय की उत्पत्ति दो मध्य वर्षों के बीच ली जाती है, तो SX शून्य होगा। उस स्थिति में समीकरण इस प्रकार घटित होते हैं: (i) ∑Y = Na + c∑X² (ii) ∑XY = b∑X² (iii) ∑X²Y = a∑X² + c∑X⁴। अब b का मान सीधे समीकरण (ii) से प्राप्त किया जा सकता है और a और c के मान समीकरण (i) और (iii) को एक साथ हल करके प्राप्त किए जा सकते हैं। इस प्रकार, a = b = c =

उदाहरण: 2000 से 2005 तक एक वस्तु की कीमत नीचे दी गई है। इस डेटा के लिए एक पराबोला Y = a + bX + cX² को फिट करें। 2010 के लिए वस्तु की कीमत का अनुमान लगाएं:

वर्ष कीमत
2000: 100
2001: 107
2002: 128
2003: 140
2004: 181
2005: 192

साथ ही वास्तविक और प्रवृत्ति के मानों को ग्राफ पर अंकित करें। समाधान: a, b और c के मान का निर्धारण करने के लिए, हम निम्नलिखित सामान्य समीकरणों को हल करते हैं:

∑Y = Na + b∑X + c∑X²
∑XY = a∑X + b∑X² + c∑X³
∑X²Y = a∑X² + b∑X³ + c∑X⁴

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वर्ष Y X X² X³ X⁴ XY X²Y Y_c

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2000: 100 –2 4 –8 16 –200 400 97.744
2001: 107 –1 1 –1 1 –107 107 110.426
2002: 128 0 0 0 0 0 0 126.680
2003: 140 1 1 1 1 140 140 146.506
2004: 181 2 4 8 16 362 724 169.904
2005: 192 3 9 27 81 576 1728 196.874

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N = 6 ∑Y = 848 ∑X = 3 ∑X² = 19 ∑X³ = 27 ∑X⁴ = 115 ∑XY = 771 ∑X²Y = 3099 ∑Y_c = 848.134

848 = 6a + 3b + 19c ...(i)
771 = 3a + 19b + 27c ...(ii)
3099 = 19a + 27b + 115c ...(iii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करते हुए, हम पाते हैं 35b + 35c = 695 ...(iv)

समीकरण (ii) को 19 से और समीकरण (iii) को 3 से गुणा करते हुए, (iii) को (ii) से घटाते हैं, हमें मिलता है 5352 = 280b + 168c ...(v)

समीकरण (iv) और (v) को हल करने पर, हमें मिलता है c = 1.786। समीकरण (iv) में c के मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है b = 18.04 [35b + (35 × 1.786) = 695]

b और c के मान को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है a = 126.68 [848 = 6a + (3 × 18.04) + (19 × 1.786)]। इस प्रकार, a = 126.68, b = 18.04 और c = 1.786।

समीकरण Y_c = 126.68 + 18.04X + 1.786X² में इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। जब X = –2 होता है, Y = 126.68 + 18.04(–2) + 1.786(–2)² = 126.68 – 36.08 + 7.144 = 97.744। जब X = –1 होता है, Y = 126.68 + 18.04(–1) + 1.786(–1)²

126.68 – 18.04 1.786 = 110.426 जब X = 0, Y = 126.68 जब X = 1, Y = 126.68 18.04 1.786 = 146.506 जब X = 2, Y = 126.68 18.04(2) 1.786(2)² = 126.68 36.08 7.144 = 169.904 जब X = 3, Y = 126.68 18.04(3) 1.786(3)² = 126.68 54.12 16.074 = 196.874 2010 के लिए मूल्य, Y = 126.68 18.04(8) 1.786(8)² जब X = 8 = 126.68 144.32 114.304 = 385.304 इस प्रकार, 2010 के लिए वस्तु का संभावित मूल्य Rs.385.304 है। वास्तविक प्रवृत्ति मानों का ग्राफ नीचे दिया गया है:

वार्षिक प्रवृत्ति समीकरण का मासिक प्रवृत्ति समीकरण में रूपांतरण किसी प्रवृत्ति रेखा को मासिक डेटा पर न्यूनतम वर्गों द्वारा फिट करना अत्यधिक समय लेने वाला हो सकता है। वार्षिक डेटा से प्रवृत्ति समीकरण की गणना करना और फिर इस प्रवृत्ति समीकरण को मासिक प्रवृत्ति समीकरण में परिवर्तित करना अधिक सुविधाजनक है। ऐसी दो संभावित स्थितियाँ हैं: (i) Y इकाइयाँ वार्षिक कुल हैं, उदाहरण के लिए, बेची गई यात्री कारों की कुल संख्या; (ii) Y इकाइयाँ मासिक औसत हैं, उदाहरण के लिए औसत मासिक थोक मूल्य सूचकांक।

जहाँ डेटा वार्षिक कुल हैं एक प्रवृत्ति समीकरण जो वार्षिक स्तर पर कार्य करता है, उसे मासिक स्तर पर घटित किया जाना है। स्थायी मान, a, वार्षिक Y मानों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। इसे मासिक मानों के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए, हमें इसे 12 से विभाजित करना होगा। इसी तरह b को वार्षिक परिवर्तन को मासिक परिवर्तन में परिवर्तित करने के लिए 12 से विभाजित किया जाना चाहिए। लेकिन यह विभाजन हमें केवल दो लगातार वर्षों के किसी एक महीने के लिए परिवर्तन दिखाता है, जबकि हमें दो लगातार महीनों के लिए परिवर्तन चाहिए। इसलिए b को एक बार फिर 12 से विभाजित किया जाना चाहिए। तदनुसार, जब वार्षिक डेटा वार्षिक कुल के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो वार्षिक प्रवृत्ति समीकरण को मासिक प्रवृत्ति समीकरण में परिवर्तित करने के लिए, a को 12 से और b को 144 से विभाजित किया जाता है।

जहाँ डेटा प्रति वर्ष मासिक औसत के रूप में दिए गए हैं इस मामले में, Y मान मासिक स्तर पर हैं। इसलिए, a मान रूपांतरण प्रक्रिया में अपरिवर्तित रहता है। इस मामले में b मान हमें मासिक स्तर पर परिवर्तन दिखाता है, लेकिन एक वर्ष में एक महीने से अगले वर्ष के समान महीने तक। यहाँ, केवल b मान को परिवर्तित करना आवश्यक है ताकि यह लगातार महीनों के बीच परिवर्तन को माप सके, जिसे केवल 12 से विभाजित करके किया जाता है।

गुण (i) इस विधि के लिए कोई स्थान नहीं है क्योंकि यह प्रवृत्ति को मापने की एक गणितीय विधि है, (ii) यह विधि सबसे अच्छा फिट रेखा प्रदान करती है क्योंकि इस रेखा से सकारात्मक और नकारात्मक विचलनों का योग शून्य होता है और इन विचलनों के वर्गों का कुल न्यूनतम होता है।

सीमाएँ

गणितीय प्रवृत्तियों का सबसे अच्छा व्यावहारिक उपयोग समय श्रृंखलाओं में आंदोलनों का वर्णन करने के लिए है। यह ऐसे आंदोलनों के कारणों का संकेत नहीं देता है। इसलिए, इस आधार पर भविष्यवाणी करना काफी जोखिम भरा हो सकता है। यदि विचाराधीन चर और समय के बीच एक कार्यात्मक संबंध है, तो भविष्यवाणी मान्य होगी। लेकिन यदि प्रवृत्ति अतीत के व्यवहार का वर्णन करती है, तो यह भविष्य के व्यवहार को प्रभावित करने वाले कारणों पर प्रकाश नहीं डालती है। एक अन्य सीमा यह है कि यदि मूल डेटा में कुछ वस्तुएं जोड़ी जाती हैं, तो एक नया समीकरण प्राप्त करना होगा।

वक्र रेखीय प्रवृत्ति

कभी-कभी, समय श्रृंखला को सीधे रेखा प्रवृत्ति द्वारा नहीं दर्शाया जा सकता है। ऐसी प्रवृत्तियों को वक्र रेखीय प्रवृत्तियाँ कहा जाता है। यदि वक्र रेखीय प्रवृत्ति को सीधे रेखा या अर्ध-लॉग पेपर, या द्वितीय या उच्च डिग्री के बहुपदों द्वारा या द्विगुणांक कार्य द्वारा दर्शाया जाता है, तो ऐसी स्थितियों में सबसे छोटे वर्गों की विधि भी लागू होती है।