शर्तीय संभावना, व्यवसाय गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

संभाव्यताओं का शर्तीय सिद्धांत

निर्भर घटनाओं का प्रबंधन

जीवन यादृच्छिक घटनाओं से भरा हुआ है! आपको इनसे एक "अनुभव" प्राप्त करने की आवश्यकता है ताकि आप एक समझदार और सफल व्यक्ति बन सकें।

स्वतंत्र घटनाएँ

घटनाएँ "स्वतंत्र" हो सकती हैं, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक घटना अन्य घटनाओं से प्रभावित नहीं होती है।

उदाहरण: सिक्का उछालना।

सिक्का उछालने का प्रत्येक प्रयास एक पूर्ण अलग घटना है।

पिछले प्रयास ने वर्तमान प्रयास को प्रभावित नहीं किया।

संभावना बस 1 में से 2, या 50%, है, जैसे कि किसी भी सिक्के के उछालने पर।

इसलिए, प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।

निर्भर घटनाएँ

लेकिन घटनाएँ "निर्भर" भी हो सकती हैं... जिसका अर्थ है कि वे पिछले घटनाओं से प्रभावित हो सकती हैं...

उदाहरण: एक थैले में गेंदें

एक थैले में 2 नीली और 3 लाल गेंदें हैं।

नीली गेंद मिलने की संभावना क्या है?

संभावना 5 में से 2 है।

लेकिन एक गेंद निकालने के बाद संभावनाएँ बदल जाती हैं!

तो अगली बार:

• यदि हमने पहले लाल गेंद निकाली, तो अगली नीली गेंद मिलने की संभावना 4 में से 2 है।
• यदि हमने पहले नीली गेंद निकाली, तो अगली नीली गेंद मिलने की संभावना 4 में से 1 है।

क्या आपने देखा कि प्रत्येक बार संभावनाएँ कैसे बदलती हैं? प्रत्येक घटना उस पिछले घटना पर निर्भर करती है, और इसे निर्भर कहा जाता है।

यह वह प्रकार की चीज़ है जिस पर हम यहाँ ध्यान देते हैं।

“प्रतिस्थापन”

नोट: यदि हम हर बार थैले में मौजूद गेंदों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो संभावनाएँ नहीं बदलती हैं और घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं:

• प्रतिस्थापन के साथ: घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं (संभावनाएँ नहीं बदलतीं)
• प्रतिस्थापन के बिना: घटनाएँ निर्भर होती हैं (संभावनाएँ बदलती हैं)

प्रतिस्थापन के साथ: घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं (संभावनाएँ नहीं बदलतीं)

प्रतिस्थापन के बिना: घटनाएँ निर्भर होती हैं (संभावनाएँ बदलती हैं)

वृक्ष चित्र

वृक्ष चित्र: यह एक अद्भुत तरीका है यह दर्शाने का कि क्या हो रहा है, तो चलिए हम अपने गेंदों के उदाहरण के लिए एक बनाते हैं।

नीले गेंद को निकालने की 2/5 संभावना है, और लाल गेंद के लिए 3/5 संभावना है:

हम एक कदम और आगे बढ़ सकते हैं और देख सकते हैं कि जब हम दूसरी गेंद चुनते हैं तो क्या होता है:

यदि पहली गेंद नीली चुनी गई, तो अब नीली गेंद पाने की 1/4 संभावना है और लाल गेंद पाने की 3/4 संभावना है।

यदि पहली गेंद लाल चुनी गई, तो अब नीली गेंद पाने की 2/4 संभावना है और लाल गेंद पाने की 2/4 संभावना है।

अब हम ऐसे सवालों का उत्तर दे सकते हैं जैसे "दो नीली गेंदें निकालने की संभावनाएँ क्या हैं?"

उत्तर: यह 2/5 संभावना है इसके बाद 1/4 संभावना:

क्या आपने देखा कि हम संभावनाओं को कैसे गुणा करते हैं? और परिणामस्वरूप हमें 1/10 मिला।

दो नीली गेंदें निकालने की संभावनाएँ 1/10 हैं।

नोटेशन

हमें गणित में नोटेशन पसंद है! इसका मतलब है कि हम फिर बीजगणित की शक्ति का उपयोग करके विचारों के साथ खेल सकते हैं। तो यहाँ संभाव्यता का नोटेशन है:

P(A) का अर्थ है "घटना A की संभावना"

हमारे गेंदों के उदाहरण में घटना A है "पहली बार नीली गेंद प्राप्त करना" जिसकी संभावना 2/5 है:

P(A) = 2/5

और घटना B है "दूसरी बार नीली गेंद प्राप्त करना"... लेकिन इसके लिए हमारे पास 2 विकल्प हैं:

• यदि हमने पहली बार नीली गेंद प्राप्त की, तो संभावना अब 1/4 है।
• यदि हमने पहली बार लाल गेंद प्राप्त की, तो संभावना अब 2/4 है।

तो हमें यह बताना है कि हम कौन सा चाहते हैं, और "दिया गया" का अर्थ देने के लिए हम प्रतीक "|" का उपयोग करते हैं:

P(B|A) का अर्थ है "घटना B, घटना A के दिए गए"

यदि दूसरे शब्दों में कहें, तो घटना A पहले ही हो चुकी है, अब घटना B की संभावना क्या है?

P(B|A) को A के दिए गए B की "शर्तीय संभावना" भी कहा जाता है।

और हमारे मामले में:

P(B|A) = 1/4

तो 2 नीली गेंद प्राप्त करने की संभावना है:

और हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:

"घटना A और घटना B की संभावना, घटना A की संभावना और घटना A के दिए गए घटना B की संभावना के गुणनफल के बराबर है।"

आइए केवल नोटेशन का उपयोग करके अगला उदाहरण करते हैं:

उदाहरण: एक डेक से 2 राजा निकालना

घटना A है पहले राजा को निकालना, और घटना B है दूसरे राजा को निकालना।

पहले कार्ड के लिए राजा निकालने की संभावना 52 में से 4 है (52 कार्ड के डेक में 4 राजा होते हैं):

P(A) = 4/52

लेकिन जब डेक से एक किंग को हटा दिया जाता है, तो दूसरी कार्ड का किंग होना कम संभावित होता है (क्योंकि 51 कार्ड में से केवल 3 किंग हैं):

P(B|A) = 3/51

और इसलिए:

P(A और B) = P(A) x P(B|A) = (4/52) x (3/51) = 12/2652 = 1/221

इसलिए 2 किंग पाने की संभावना 1 में 221 है, या लगभग 0.5%

छुपे हुए डेटा की खोज

ज्यामिति का उपयोग करते हुए हम सूत्र का "विषय बदल" भी कर सकते हैं, इस प्रकार:

और हमारे पास एक और उपयोगी सूत्र है:

"घटना B की संभावना, जब घटना A दी गई है, घटना A और घटना B की संभावना को घटना A की संभावना से विभाजित करने के बराबर है।"

उदाहरण: आइसक्रीम

70% आपके दोस्तों को चॉकलेट पसंद है, और 35% को चॉकलेट और स्ट्रॉबेरी दोनों पसंद हैं।

उनमें से कितने प्रतिशत जो चॉकलेट पसंद करते हैं, स्ट्रॉबेरी भी पसंद करते हैं?

P(Strawberry|Chocolate) = P(Chocolate और Strawberry) / P(Chocolate)

0.35 / 0.7 = 50%

50% आपके दोस्तों को जो चॉकलेट पसंद है, वे स्ट्रॉबेरी भी पसंद करते हैं।

बड़ा उदाहरण: फुटबॉल खेल

आप फुटबॉल खेलने जा रहे हैं, और आप गोलकीपर बनना चाहते हैं, लेकिन यह इस पर निर्भर करता है कि आज कोच कौन है:

• कोच सैम के साथ गोलकीपर बनने की संभावना 0.5 है
• कोच एलेक्स के साथ गोलकीपर बनने की संभावना 0.3 है

कोच एलेक्स के साथ गोलकीपर बनने की संभावना 0.3 है।

कोच सैम से, आप लगभग 6 में से 10 खेलों (संभावना 0.6) में कोच होते हैं।

तो, आज आप गोलकीपर बनने की संभावना क्या है?

आइए हम एक पेड़ आरेख बनाते हैं। पहले हम दो संभावित कोच दिखाते हैं: सैम या एलेक्स:

सैम पाने की संभावना 0.6 है, इसलिए एलेक्स की संभावना 0.4 होनी चाहिए (साथ में संभावना 1 है)।

अब, यदि आपको सैम मिलता है, तो गोलकीपर बनने की संभावना 0.5 है (और न बनने की 0.5):

यदि आपको एलेक्स मिलता है, तो गोलकीपर बनने की संभावना 0.3 है (और न बनने की 0.7):

पेड़ आरेख पूरा हो गया है, अब आइए कुल संभावनाओं की गणना करें। याद रखें कि:

यहाँ "सैम, हाँ" शाखा के लिए इसे कैसे करना है:

(जब हम सैम के कोच होने की 0.6 संभावना को उस 0.5 संभावना से गुणा करते हैं कि सैम आपको गोलकीपर बनने देगा, तो हमें 0.3 संभावना मिलती है।)

लेकिन हम अभी समाप्त नहीं हुए हैं! हमने एलेक्स को कोच के रूप में शामिल नहीं किया है:

एलेक्स के कोच होने की 0.4 संभावना, इसके बाद 0.3 संभावना हमें 0.12 देती है।

और पेड़ की दो "हाँ" शाखाएँ मिलकर बनाती हैं:

0.3 + 0.12 = 0.42 आज गोलकीपर बनने की संभावना

(यह 42% संभावना है)

जांचें

एक अंतिम कदम: गणनाओं को पूर्ण करें और सुनिश्चित करें कि वे 1 जोड़ती हैं:

0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1

हाँ, वे 1 जोड़ते हैं, तो यह सही लगता है।

मित्रों और यादृच्छिक संख्याएँ

यहाँ एक और बिलकुल अलग उदाहरण है सशर्त संभावना का।

4 दोस्त (Alex, Blake, Chris और Dusty) में से प्रत्येक 1 से 5 के बीच एक यादृच्छिक संख्या चुनता है। क्या संभावना है कि उनमें से किसी ने वही संख्या चुनी?

चलो अपने दोस्तों को एक-एक करके जोड़ते हैं ...

पहले, क्या संभावना है कि Alex और Blake ने वही संख्या चुनी?

Blake अपनी संख्या को Alex की संख्या से तुलना करता है। मिलान की संभावना 1 में 5 है।

एक पेड़ आरेख के रूप में:

नोट: "हाँ" और "नहीं" मिलकर 1 बनाते हैं (1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)

अब, चलो Chris को शामिल करते हैं ...

लेकिन अब दो मामलों पर विचार करना है:

• यदि Alex और Blake ने मिलान किया, तो Chris के पास तुलना करने के लिए केवल एक संख्या है।
• लेकिन यदि Alex और Blake ने मिलान नहीं किया, तो Chris के पास तुलना करने के लिए दो संख्याएँ हैं।

और हमें यह मिलता है:

ऊपरी पंक्ति के लिए (Alex और Blake ने मिलान किया) हमारे पास पहले ही एक मिलान है (1/5 की संभावना)।

लेकिन "Alex और Blake ने मिलान नहीं किया" के लिए अब Chris के मिलान की संभावना 2/5 है (क्योंकि Chris अपनी संख्या को Alex और Blake दोनों के खिलाफ मिलाता है)।

और हम वहां पहुंचने के लिए जो संभावनाएँ थीं, उन्हें गुणा करके संयुक्त संभावना निकाल सकते हैं:

"नहीं, हाँ" मार्ग का पालन करते हुए ... "नहीं" की संभावना 4/5 है, इसके बाद "हाँ" की संभावना 2/5 है:

(4/5) × (2/5) = 8/25

\"नहीं, नहीं\" रास्ते का अनुसरण करते हुए ... यहाँ पर नहीं का 4/5 मौका है, इसके बाद नहीं का 3/5 मौका है:

(4/5) × (3/5) = 12/25

यह भी ध्यान दें कि जब हम सभी संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो हमें फिर भी 1 मिलता है (यह एक अच्छा जांच है कि हमने कोई गलती नहीं की है):

(5/25) (8/25) (12/25) = 25/25 = 1

अब जब हम डस्टी को शामिल करते हैं, तो क्या होता है?

यह वही विचार है, बस अधिक:

ठीक है, ये सभी 4 दोस्त हैं, और \"हाँ\" के मौके एक साथ मिलकर 101/125 बनाते हैं:

उत्तर: 101/125

लेकिन यहाँ कुछ दिलचस्प है ... अगर हम \"नहीं\" रास्ते का अनुसरण करें, तो हम सभी अन्य गणनाओं को छोड़ सकते हैं और अपने जीवन को आसान बना सकते हैं:

न मिलाने की संभावनाएँ हैं:

(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125

इसलिए मिलाने की संभावनाएँ हैं:

1 - (24/125) = 101/125

(और इसके लिए हमें वास्तव में एक पेड़ चित्र की आवश्यकता नहीं थी!)

और यह संभावना में एक लोकप्रिय ट्रिक है:

\"नहीं\" मामले को हल करना अक्सर आसान होता है (और \"हाँ\" मामले के लिए 1 से घटाना)