परिवर्तन - संभावना, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

क्या अंतर है?

अंग्रेज़ी में हम "संयोग" (combination) शब्द का उपयोग ढीले ढंग से करते हैं, बिना यह सोचे कि चीज़ों का क्रम महत्वपूर्ण है या नहीं। दूसरे शब्दों में:

• “मेरा फल सलाद सेब, अंगूर और केले का संयोग है।” हमें परवाह नहीं है कि फलों का क्रम क्या है, वे "केले, अंगूर और सेब" या "अंगूर, सेब और केले" भी हो सकते हैं, यह वही फल सलाद है।
• “सुरक्षा तिजोरी का संयोग 472 है।” अब हमें क्रम की परवाह है। "724" काम नहीं करेगा, न ही "247"। इसे सही तरीके से 4-7-2 होना चाहिए।

तो, गणित में हम अधिक सटीक भाषा का उपयोग करते हैं:

• जब क्रम मायने नहीं रखता, तो इसे संयोग कहा जाता है। जब क्रम मायने रखता है, तो इसे व्यवस्था (permutation) कहा जाता है।

जब क्रम महत्वपूर्ण होता है, तब इसे एक Permutation कहा जाता है।

इसलिए, हमें वास्तव में इसे "Permutation Lock" कहना चाहिए!

Permutation एक क्रमबद्ध Combination है।

Permutations

वास्तव में, Permutation के दो प्रकार होते हैं:

• दोहराव की अनुमति है: जैसे कि ऊपर दिया गया लॉक। यह "333" हो सकता है।
• कोई दोहराव नहीं: उदाहरण के लिए, दौड़ में पहले तीन व्यक्ति। आप पहले और दूसरे नहीं हो सकते।

कोई दोहराव नहीं: उदाहरण के लिए, दौड़ में पहले तीन व्यक्ति। आप पहले और दूसरे नहीं हो सकते।

1. दोहराव के साथ Permutations

ये गणना करने के लिए सबसे आसान होते हैं।

जब एक वस्तु के पास n विभिन्न प्रकार होते हैं ... तो हमारे पास हर बार n विकल्प होते हैं!

उदाहरण: उन चीज़ों में से 3 का चयन करते समय, Permutations हैं:

n × n × n (n को 3 बार गुणा किया गया)

विशेष रूप से: किसी ऐसी चीज़ का चयन करना जिसमें n विभिन्न प्रकार हैं, Permutations हैं:

n × n × ... (r बार)

(दूसरे शब्दों में, पहले चयन के लिए n संभावनाएँ हैं, फिर दूसरे चयन के लिए n संभावनाएँ हैं, और इसी तरह, हर बार गुणा करते हैं।)

जिसे लिखना आसान होता है r की घात के रूप में:

n × n × ... (r बार) = n^r

उदाहरण: ऊपर दिए गए लॉक में, चुनने के लिए 10 नंबर हैं (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) और हम उनमें से 3 का चयन करते हैं:

10 × 10 × ... (3 बार) = 10³ = 1,000 permutations

इसलिए, सूत्र सरलता से है:

जहां n चीजों की संख्या है जिन्हें चुनना है, और हम उनमें से r का चयन करते हैं, पुनरावृत्ति की अनुमति है, और क्रम महत्वपूर्ण है।

2. बिना पुनरावृत्ति के संयोजन

इस मामले में, हमें हर बार उपलब्ध विकल्पों की संख्या को कम करना होता है।

उदाहरण: 16 पूल गेंदों को किस क्रम में रखा जा सकता है?

मान लीजिए, हमने संख्या "14" चुनी, हम इसे फिर से नहीं चुन सकते।

तो, हमारी पहली पसंद में 16 संभावनाएँ हैं, और हमारी अगली पसंद में 15 संभावनाएँ, फिर 14, 13, 12, 11, ... आदि। और कुल संयोजन होते हैं:

16 × 15 × 14 × 13 × ... = 20,922,789,888,000

लेकिन शायद हम सभी को नहीं चुनना चाहते, केवल उनमें से 3 को, और वह होगा:

16 × 15 × 14 = 3,360

अन्य शब्दों में, 16 गेंदों में से 3 पूल गेंदों को व्यवस्थित करने के 3,360 विभिन्न तरीके हैं।

बिना पुनरावृत्ति के हमारी पसंद हर बार कम हो जाती है।

लेकिन हम इसे गणितीय रूप में कैसे लिखते हैं? उत्तर: हम "फैक्टोरियल फ़ंक्शन" का उपयोग करते हैं।

फैक्टोरियल फ़ंक्शन (प्रतीक: !) का अर्थ होता है प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला को गुणा करना। उदाहरण:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040
• 1! = 1

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040
• 1! = 1

नोट: आमतौर पर यह सहमति है कि 0! = 1 है। यह अजीब लग सकता है कि कोई संख्या एक साथ नहीं मिलाकर हमें 1 मिलता है, लेकिन यह कई समीकरणों को सरल बनाने में मदद करता है।

तो, जब हम सभी बॉल्स को चुनना चाहते हैं, तो क्रम व्यवस्थाएँ इस प्रकार हैं:

16! = 20,922,789,888,000

लेकिन जब हम केवल 3 चुनना चाहते हैं, तो हमें 14 के बाद गुणा नहीं करना है। हम ऐसा कैसे करें? एक सरल तरीका है: हम 13 से भाग देते हैं!

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14

यह बहुत अच्छा था। 13 × 12 × ... आदि "रद्द" हो जाते हैं, केवल 16 × 15 × 14 छोड़कर।

फार्मूला इस प्रकार लिखा जाता है:

n!(n − r)!

जहाँ n उन चीजों की संख्या है जिनमें से चुनना है, और हम r चुनते हैं, बिना पुनरावृत्ति के, क्रम महत्वपूर्ण है।

उदाहरण: हमारा "16 पूल बॉल्स में से 3 का क्रम" उदाहरण है:

16! = 16! = 20,922,789,888,000 = 3,360

• 16!
• =
• 20,922,789,888,000
• = 3,360

(16-3! 13! 6,227,020,800)

• (16-3!)
• 13!
• 6,227,020,800

(जो कि बस यही है: 16 × 15 × 14 = 3,360)

उदाहरण: 10 लोगों में से पहले और दूसरे स्थान के लिए पुरस्कार देने के कितने तरीके हो सकते हैं?

10! = 10! = 3,628,800 = 90

• 10!
• =
• 3,628,800
• = 90

(जो कि बस यही है: 10 × 9 = 90)

संकेतन

संपूर्ण सूत्र लिखने के बजाय, लोग विभिन्न संकेतन का उपयोग करते हैं, जैसे:

उदाहरण: P(10,2) = 90

संयोग

संयोग के भी दो प्रकार होते हैं (याद रखें कि अब क्रम मायने नहीं रखता):

• दोहराव की अनुमति है: जैसे आपके जेब में सिक्के (5,5,5,10,10)
• कोई दोहराव नहीं: जैसे लाटरी के नंबर (2,14,15,27,30,33)

1. दोहराव के साथ संयोग

वास्तव में, इन्हें समझाना सबसे कठिन है, इसलिए हम बाद में इस पर लौटेंगे।

2. बिना दोहराव के संयोग

यह लाटरी कैसे काम करती है। नंबर एक समय में खींचे जाते हैं, और यदि हमारे पास भाग्यशाली नंबर हैं (कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्रम क्या है) तो हम जीतते हैं!

इसे समझाने का सबसे आसान तरीका यह है कि:

• मान लें कि क्रम मायने रखता है (यानी permutations), फिर इसे बदलें ताकि क्रम मायने न रखे।

फिर इसे बदलें ताकि क्रम मायने न रखे।

हमारे पूल बॉल के उदाहरण पर वापस जाने पर, मान लीजिए कि हम केवल यह जानना चाहते हैं कि कौन सी 3 पूल बॉल चुनी गई हैं, न कि उनका क्रम।

हमें पहले से पता है कि 16 में से 3 चुनने पर हमें 3,360 संभावनाएँ मिलती हैं।

लेकिन अब उनमें से कई हमारे लिए समान हैं, क्योंकि हमें क्रम की परवाह नहीं है!

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि बॉल 1, 2 और 3 चुनी गई हैं। ये संभावनाएँ हैं:

इसलिए, संभावनाएँ 6 गुना अधिक हैं।

वास्तव में, "1 2 3" को क्रम में रखने के कितने तरीके हैं, यह निकालने का एक आसान तरीका है, और हम इसके बारे में पहले ही बात कर चुके हैं। उत्तर है:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(एक और उदाहरण: 4 चीजों को 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 विभिन्न तरीकों से रखा जा सकता है, इसे खुद आजमाएँ!)

इसलिए हम अपनी संभावनाओं के सूत्र को इस तरह समायोजित करते हैं कि यह उन तरीकों से कम हो जाए जिनसे वस्तुएं क्रम में हो सकती हैं (क्योंकि हमें अब उनके क्रम में रुचि नहीं है):

यह सूत्र इतना महत्वपूर्ण है कि इसे अक्सर बड़े कोष्ठकों में लिखा जाता है जैसे:

जहाँ n उन चीजों की संख्या है जिनमें से चुनना है, और हम r को चुनते हैं, बिना पुनरावृत्ति के, क्रम मायने नहीं रखता।

इसे अक्सर "n choose r" (जैसे "16 choose 3") कहा जाता है।

और इसे बाइनोमियल गुणांक के रूप में भी जाना जाता है।

इसके साथ ही "बड़े कोष्ठक" के अलावा, लोग इन संकेतन का भी उपयोग करते हैं:

बस सूत्र को याद रखें:

n!r!(n − r)!

उदाहरण: पूल बॉल्स (किसी क्रम के बिना)

तो, हमारे पूल बॉल उदाहरण (अब बिना क्रम के) है:

16!3!(16−3)! = 16!3! × 13!

= 20,922,789,888,0006 × 6,227,020,800

= 560

या हम इसे इस तरह कर सकते हैं:

16×15×14×3×2×1 = 33606 = 560

यह भी दिलचस्प है कि यह सूत्र कितना सुंदर और सममित है:

दूसरे शब्दों में, 16 में से 3 गेंदों का चयन करना, या 16 में से 13 गेंदों का चयन करना, संयोजन की समान संख्या रखता है।

16!3!(16−3)! = 16!13!(16−13)! = 16!3! × 13! = 560

पैस्कल का त्रिकोण

हम पैस्कल के त्रिकोण का उपयोग करके मानों को भी खोज सकते हैं। "n" पंक्ति (शीर्ष पंक्ति 0 है) पर जाएं, और फिर "r" स्थानों के साथ आगे बढ़ें और वहां का मान हमारा उत्तर है। यहां पंक्ति 16 का एक अंश दिखाया गया है:

1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ...

ठीक है, अब हम इसे संभाल सकते हैं...

मान लीजिए कि आइसक्रीम के पाँच फ्लेवर हैं: केला, चॉकलेट, नींबू, स्ट्रॉबेरी और वैनिला।

हम तीन स्कूप ले सकते हैं। कितने भिन्नताएँ होंगी?

फ्लेवर के लिए अक्षरों का उपयोग करते हैं: {b, c, l, s, v}। उदाहरण चयन में शामिल हैं:

• {c, c, c} (चॉकलेट के 3 स्कूप)
• {b, l, v} (केला, नींबू और वैनिला में से एक-एक)
• {b, v, v} (केले का 1, वैनिला के 2)

(और स्पष्ट करने के लिए: चुनने के लिए n=5 चीजें हैं, और हम उनमें से r=3 चुनते हैं। क्रम मायने नहीं रखता, और हम दोहराते भी हैं!)

अब, मैं आपको सीधे यह नहीं बता सकता कि इसे कैसे गणना करना है, लेकिन मैं आपको एक विशेष तकनीक दिखा सकता हूँ जो आपको इसे समझने में मदद करेगी।

सोचिए कि आइसक्रीम बक्सों में है, हम कह सकते हैं "पहले बक्से को छोड़कर आगे बढ़ें, फिर 3 स्कूप लें, फिर 3 और बक्सों के साथ आगे बढ़ें" और हमें 3 स्कूप चॉकलेट मिलेंगे!

तो यह ऐसा है जैसे हम एक रोबोट को आइसक्रीम लाने का आदेश दे रहे हैं, लेकिन इससे कुछ नहीं बदलता, हम अभी भी वही प्राप्त करते हैं जो हम चाहते हैं।

हम इसे इस तरह लिख सकते हैं (तीर का मतलब है आगे बढ़ना, वृत्त का मतलब है स्कूप लेना)।

वास्तव में, उपरोक्त तीन उदाहरणों को इस तरह लिखा जा सकता है:

ठीक है, तो विभिन्न फ्लेवर्स के बारे में चिंता करने के बजाय, हमारे पास एक सरल सवाल है: "हम तीरों और वृत्तों को व्यवस्थित करने के कितने विभिन्न तरीके हैं?"

ध्यान दें कि हमेशा 3 वृत्त (3 स्कूप आइसक्रीम) और 4 तीर होते हैं (हमें 1 से 5वें कंटेनर तक जाने के लिए 4 बार आगे बढ़ना है)।

तो (यहां सामान्य रूप से) r (n−1) स्थान हैं, और हम चाहते हैं कि इनमें से r को वृत्त बनाने के लिए चुनें।

यह ऐसा है जैसे हम कहते हैं "हमारे पास r (n−1) पूल बॉल्स हैं और हम उनमें से r को चुनना चाहते हैं"। दूसरे शब्दों में, यह अब पूल बॉल्स के सवाल की तरह है, लेकिन संख्याएँ थोड़ी बदल गई हैं। और हम इसे इस तरह लिख सकते हैं:

जहाँ n उन चीज़ों की संख्या है जिनमें से चुनना है, और हम r का चयन करते हैं, पुनरावृत्ति की अनुमति है, क्रम मायने नहीं रखता।

दिलचस्प बात यह है कि हम वृत्तों के बजाय तीरों को देख सकते हैं और कह सकते हैं "हमारे पास r (n−1) स्थान हैं और हम उनमें से (n−1) को तीर के लिए चुनना चाहते हैं", और उत्तर वही है:

तो, हमारे उदाहरण में, उत्तर क्या है?

आइसक्रीम के पांच स्वादों में से 3 स्कूप्स लेने के 35 तरीके हैं।