कार्ल पीयरसन का सहसंबंध गुणांक - सहसंबंध और प्रतिगमन, व्यापार गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक दो चर के बीच संबंध की डिग्री का माप सहसंबंध गुणांक कहलाता है। इसे r के प्रतीक से दर्शाया जाता है। सहसंबंध की गणना के लिए द्विविकल्पीय रैखिक सहसंबंध जनसंख्या मॉडल के जो अनुमानों में शामिल हैं, वे निम्नलिखित हैं: (या-लुन चौ)

• दोनों X और Y यादृच्छिक चर हैं। किसी भी चर को स्वतंत्र चर के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, और दूसरे चर को आश्रित चर कहा जाएगा।
• द्विविकल्पीय जनसंख्या सामान्य है। एक द्विविकल्पीय सामान्य जनसंख्या, अन्य बातों के अलावा, वह होती है जिसमें दोनों X और Y सामान्य वितरण में होते हैं।
• X और Y के बीच संबंध एक अर्थ में रैखिक है। यह अनुमान लगाता है कि Y के सभी औसत जो X मानों से संबंधित हैं, एक सीधी रेखा पर गिरते हैं, जो Y का X पर पुनःप्रवृत्ति रेखा है। और Y मानों से संबंधित X के सभी औसत भी एक सीधी रेखा पर गिरते हैं, जो X का Y पर पुनःप्रवृत्ति रेखा है। इसके अलावा, यदि Y और X के बीच संबंध पूर्ण है - अर्थात् r = ± 1, तो दोनों समीकरणों में जनसंख्या पुनःप्रवृत्ति रेखाएँ एक समान होती हैं। अन्यथा, Y आश्रित होने पर, अवरोध और ढाल X आश्रित होने वाले पुनःप्रवृत्ति समीकरण से भिन्न होंगे।

यह विधि प्रायोगिक रूप से सबसे अधिक उपयोग की जाती है। इसे V के प्रतीक से दर्शाया जाता है। सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सूत्र उपयोगकर्ता की पसंद के अनुसार विभिन्न वैकल्पिक रूप ले सकते हैं।

विधि I — जब वास्तविक अंकगणितीय औसत से भिन्नताएँ ली जाती हैं (A) जब प्रश्न में मानक भिन्नताएँ दी गई हैं।

जहाँ x = X श्रृंखला के वास्तविक माध्य से लिए गए विचलन Y = Y श्रृंखला के वास्तविक माध्य से लिए गए विचलन N = वस्तुओं की संख्या σx = X श्रृंखला का मानक विचलन σy = Y श्रृंखला का मानक विचलन

(B) जब प्रश्न में मानक विचलन नहीं दिए गए हों

जहाँ Σxy = वास्तविक माध्य से X और Y श्रृंखलाओं के उत्पाद का योग Σx2 = X श्रृंखला के उसके माध्य से विचलन का वर्ग का योग Σy2 = Y श्रृंखला के उसके माध्य से विचलन का वर्ग का योग

उदाहरण: 1 10 छात्रों द्वारा गणित और सांख्यिकी में प्राप्त अंकों के बीच संबंध निकालें

समाधान: सहसंबंध गुणांक की गणना

गणना विधि 1(a)

(नोट: उपर्युक्त विधि का उपयोग तब करना चाहिए जब विशेष रूप से इसके लिए कहा गया हो, या यदि प्रश्न में पहले से मानक विचलन दिए गए हैं, अन्यथा निम्नलिखित विधि का उपयोग करना चाहिए क्योंकि यह कम जटिल है) गणना विधि 1(b)

विधि II जब विचलन मानित माध्य से लिए जाते हैं

यह विधि सामान्यतः तब उपयोग की जाती है जब X श्रृंखला या Y श्रृंखला या दोनों के वास्तविक माध्य दशमलव में होते हैं, जिस स्थिति में विधि I का उपयोग करना कठिन हो जाता है; ऐसे में गणनाओं को सरल बनाने के लिए मानित माध्य से विचलन लिए जाते हैं।

उदाहरण 2: निम्नलिखित डेटा से सहसंबंध गुणांक की गणना करें

समाधान:

चूंकि X और Y का माध्य दशमलव में है, अर्थात् 11.5 और 12.1 क्रमशः, इसलिए हम विधि II द्वारा समाधान करेंगे।

उदाहरण 3: पति और पत्नी की उम्र के बीच संबंध खोजें।

Ax को 10 और Ay को 15 मानते हुए N = 7

संबंध गुणांक के गुण

• संबंध गुणांक (r) का मान हमेशा ±1 के बीच होता है। जैसे कि:
  • r = 1, पूर्ण सकारात्मक संबंध
  • r = -1, पूर्ण नकारात्मक संबंध
  • r = 0, कोई संबंध नहीं
< />संबंध गुणांक की परवाह नहीं करता है कि मूल और पैमाना क्या है। मूल से मतलब है कि X और Y के दिए गए मान से किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक को घटाने पर “r” का मान अपरिवर्तित रहता है।
• पैमाने का मतलब है, यदि X और Y के मान को किसी भी स्थिरांक से विभाजित या गुणा किया जाए तो “r” का मान प्रभावित नहीं होता।
• संबंध गुणांक दो प्रतिगमन गुणांकों का ज्यामितीय औसत होता है। इसे प्रतीकात्मक रूप से दर्शाया जाता है:
• संबंध गुणांक “शून्य” होता है जब X और Y स्वतंत्र होते हैं। हालाँकि, इसका विपरीत सत्य नहीं है।

कार्ल पीयर्सन के संबंध गुणांक के मान्यताएँ

• परिवर्तनों के बीच का संबंध “रेखीय” है, जिसका अर्थ है कि जब दो परिवर्तनों को प्लॉट किया जाता है, तो प्लॉट किए गए बिंदुओं द्वारा एक सीधी रेखा बनती है।
• अध्ययन के अंतर्गत परिवर्तनों को प्रभावित करने वाले स्वतंत्र कारणों की एक बड़ी संख्या होती है ताकि एक सामान्य वितरण का निर्माण हो सके। जैसे, मूल्य, मांग, आपूर्ति आदि जैसे परिवर्तनों को ऐसे कारकों द्वारा प्रभावित किया जाता है कि सामान्य वितरण बनता है।
• परिवर्तन एक-दूसरे के स्वतंत्र होते हैं। नोट: संबंध गुणांक केवल संबंध की मात्रा को नहीं मापता है, बल्कि दिशा भी बताता है। जैसे, r = -0.67, जो दिखाता है कि संबंध नकारात्मक है क्योंकि संकेत “-” है और मात्रा 0.67 है।