प्रतिस्थापन गुणांक - फैलाव के माप, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

वैरिएंस:

मानक विचलन का वर्ग को वैरिएंस कहा जाता है।

वैरिएशन का गुणांक: यह मानक विचलन का औसत (Mean) के साथ अनुपात है, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस सापेक्ष माप का सुझाव सबसे पहले प्रोफेसर करी पियर्सन ने दिया था। उनके अनुसार, गुणांक औसत में प्रतिशत भिन्नता है, जबकि मानक विचलन औसत में कुल भिन्नता है।

चिन्हात्मक रूप से:

वैरिएशन का गुणांक = मानक विचलन का गुणांक × 100।

नोट: वैरिएशन का गुणांक को परिवर्तनशीलता का गुणांक भी कहा जाता है। इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण 55: यदि एक श्रृंखला का औसत और मानक विचलन क्रमशः 40 और 10 हैं, तो वैरिएशन का गुणांक होगा 10 / 40 × 100 = 25%, जिसका अर्थ है कि मानक विचलन औसत का 25% है।

उदाहरण 56: दो कंपनियों, A और B, में श्रमिकों को दिए गए मासिक वेतन का विश्लेषण निम्नलिखित परिणाम देता है:

• कंपनी A
• वेतनभोगियों की संख्या: 586
• औसत मासिक वेतन: 52.5
• वेतन वितरण का वैरिएंस: 100
• कंपनी B
• वेतनभोगियों की संख्या: 648
• औसत मासिक वेतन: 47.5
• वेतन वितरण का वैरिएंस: 121

(a) कौन सी कंपनी A और B सबसे अधिक मासिक वेतन का भुगतान करती है? (b) कौन सी कंपनी A और B में व्यक्तिगत वेतन में अधिक परिवर्तनशीलता है? (c) दोनों कंपनियों A और B के सभी श्रमिकों के औसत मासिक वेतन और मानक विचलन को खोजें।

हल:

(a) कंपनी A के लिए: कुल वेतन = 586 × 52.5 = 30,765। कंपनी B के लिए: कुल वेतन = 648 × 47.5 = 30,780। यानी, कंपनी B सबसे बड़ी राशि का भुगतान करती है।

(b) कंपनी A के लिए: σ² = 100 ∴ σ = 10

∴ फर्म B की विविधता अधिक है, क्योंकि इसका परिवर्तन गुणांक फर्म A की तुलना में अधिक है।

उदाहरण 57: एक परीक्षा में एक उम्मीदवार ने निम्नलिखित प्रतिशत अंक प्राप्त किए:

• अंग्रेजी: 62
• दूसरी भाषा: 74
• गणित: 58
• विज्ञान: 61
• अर्थशास्त्र: 44

उम्मीदवार का भारित औसत प्रतिशत ज्ञात करें। विषयों को क्रमशः 3, 4, 4, 5 और 2 का भार दिया गया है। परिवर्तन गुणांक भी ज्ञात करें।

हल:

उदाहरण 58: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण का औसत (A.M.) 1.46 है। f₁ और f₂ ज्ञात करें।

• दुर्घटनाओं की संख्या: 0, 1, 2, 3, 4, 5
• कुल दिनों की संख्या: 46, f₁, f₂, 25, 10, 5, 200

परिवर्तन गुणांक भी ज्ञात करें।

f₁ और f₂ के इन मानों को डालने पर हमें निम्नलिखित वितरण प्राप्त होता है:

मानक विचलन के लाभ:

• 1. मानक विचलन सभी अवलोकनों पर आधारित है और इसे सख्ती से परिभाषित किया गया है।
• 2. यह बीजगणितीय उपचार के लिए उपयुक्त है और इसमें कई गणितीय गुण होते हैं।
• 3. यह अधिकांश अन्य फैलाव के मापों की तुलना में नमूने के उतार-चढ़ाव से कम प्रभावित होता है।
• 4. दो या अधिक श्रृंखलाओं की विविधता की तुलना के लिए, परिवर्तन गुणांक को सबसे उपयुक्त माना जाता है और यह मानक विचलन और औसत पर आधारित है।

मानक विचलन के नुकसान:

• 1. इसे समझना और गणना करना आसान नहीं है।
• 2. यह चरम स्थितियों को अधिक वजन देता है और औसत के निकट वस्तुओं को कम, क्योंकि बड़े आकार के विचलनों के वर्ग आनुपातिक रूप से छोटे आकार के विचलनों की तुलना में अधिक होंगे। उदाहरण के लिए, विचलन 2 और 6 का अनुपात 1:3 है, लेकिन उनके वर्ग 4 और 36 का अनुपात 1:9 होगा।

मानक विचलन के उपयोग: यह वितरण का सर्वोत्तम माप है, और इसे जहाँ भी संभव हो, उपयोग किया जाना चाहिए।