महत्व और विशेषताएँ - प्रसार के माप, व्यापार गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

विसरण के उपाय: विसरण का एक उपाय यह बताने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि व्यक्तिगत अवलोकन (या आइटम) अपने औसत से कितनी भिन्नता रखते हैं। यहाँ हम केवल भिन्नता की मात्रा (या इसके स्तर) का विचार करेंगे, न कि इसकी दिशा। सामान्यतः, जब अवलोकनों का उनके औसत (मीन, माध्य या मोड) से विचलन ज्ञात किया जाता है, तो इन विचलनों का औसत लिया जाता है ताकि एक श्रृंखला के विसरण का प्रतिनिधित्व किया जा सके। इसी कारण से, विसरण के उपायों को दूसरे क्रम का औसत कहा जाता है। हमने पहले देखा है कि मीन, माध्य और मोड आदि सभी पहले क्रम के औसत हैं। विसरण के उपाय मुख्यतः दो प्रकार के होते हैं–

• (A) अपरिवर्तनीय उपाय निम्नलिखित हैं :
  • (i) रेंज
  • (ii) औसत विचलन (या औसत विचलन)
  • (iii) मानक विचलन
• (B) अनुपातात्मक उपायों में हमें निम्नलिखित प्रकार मिलते हैं :
  • (i) विसरण गुणांक
  • (ii) परिवर्तन गुणांक

अपरिवर्तनीय और अनुपातात्मक उपाय: यदि हम एक श्रृंखला का विसरण, मान लीजिए, छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों के रूप में अपरिवर्तनीय आंकड़ों में निकालते हैं, तो विसरण भी उसी इकाई में होगा (यानी अंक)। इसे अपरिवर्तनीय विसरण कहा जाता है। यदि फिर से विसरण को औसत का अनुपात (या प्रतिशत) के रूप में निकाला जाता है, तो इसे अनुपातात्मक विसरण कहा जाता है।

रेंज: एक सेट अवलोकनों के लिए, रेंज सबसे ऊँची और सबसे नीची मान के बीच का अंतर है, अर्थात् रेंज = अधिकतम मान – न्यूनतम मान

उदाहरण 43: 6 छात्रों द्वारा प्राप्त अंक थे 24, 12, 16, 11। रेंज ज्ञात करें। यदि उच्चतम अंक छोड़ दिया जाए, तो रेंज में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करें। यहाँ अधिकतम अंक = 42, न्यूनतम अंक = 11। ∴ रेंज = 42 – 11 = 31 अंक। यदि फिर से उच्चतम अंक 42 छोड़ दिया जाए, तो शेष में अधिकतम अंक 40 होगा। तो, रेंज (संशोधित) = 40 – 11 = 29 अंक। रेंज में परिवर्तन = 31 – 29 = 2 अंक। ∴ आवश्यक प्रतिशत परिवर्तन = 2 ÷ 31 × 100 = 6.45%। नोट: रेंज और अन्य अपरिवर्तनीय विसरण के उपायों को उसी इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए जिसमें अवलोकन व्यक्त किए गए हैं।

समूहित आवृत्ति वितरण के लिए: इस मामले में सीमा की गणना सबसे निचले वर्ग अंतराल की निचली सीमा को सबसे ऊँचे वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा से घटाकर की जाती है।

उदाहरण 44: निम्नलिखित डेटा के लिए सीमा की गणना करें:

यहाँ सबसे ऊँचे वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा = 30 और पहले वर्ग अंतराल की निचली सीमा = 10 है। ∴ सीमा = 30 – 10 = 20 अंक।

नोट: वैकल्पिक विधि सबसे निचले वर्ग के मध्य बिंदु को सबसे ऊँचे वर्ग के मध्य बिंदु से घटाना है। ऊपर के मामले में, सीमा = 27.5 – 12.5 = 15 अंक। व्यवहार में दोनों विधियों का उपयोग किया जाता है।

सीमा का गुणांक: इस सापेक्ष माप का सूत्र है:

उपरोक्त उदाहरण में, सीमा का गुणांक:

सीमा के लाभ: सीमा को समझना आसान है और इसे गणना करना सरल है।

सीमा के नुकसान: यह अत्यधिक मानों से बहुत प्रभावित होती है। यह सभी अवलोकनों पर निर्भर नहीं करती, बल्कि केवल अत्यधिक मानों पर निर्भर करती है। खुली-समाप्ति वितरण के मामले में सीमा की गणना नहीं की जा सकती।

सीमा के उपयोग: इसका उपयोग गुणवत्ता नियंत्रण के क्षेत्र में लोकप्रियता से किया जाता है। शेयर बाजार में उतार-चढ़ाव में सीमा का उपयोग होता है।

औसत विचलन (Mean Deviation): औसत विचलन और मानक विचलन, हालाँकि, श्रृंखला के सभी अवलोकनों को ध्यान में रखते हुए गणना की जाती है, जबकि सीमा नहीं।

परिभाषा: एक श्रृंखला का औसत विचलन विभिन्न वस्तुओं के मध्यिका या औसत से विचलनों का अंकगणितीय औसत है। मध्यिका को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि मध्यिका से विचलनों का योग औसत से कम होता है। इसलिए, मध्यिका से गणना किए गए औसत विचलन के मान आमतौर पर औसत से गणना किए गए मानों से कम होते हैं। मोड पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि इसका मान अनिश्चित होता है। औसत विचलन को विस्थापन का पहला क्षण कहा जाता है।

विस्थापन का महत्व: हम जानते हैं कि विस्थापन को मापने का उद्देश्य डेटा में विद्यमान विचलन के स्तर को निर्धारित करना है और इसलिए, उन सीमाओं के भीतर जिनमें डेटा किसी मापने योग्य भिन्नता या गुण या गुणवत्ता में भिन्न होगा। विस्थापन का यह उद्देश्य बहुत महत्वपूर्ण है और सांख्यिकीय विधियों में एक अद्वितीय स्थान रखता है।

• विस्थापन के माप केंद्रीय प्रवृत्ति के माप द्वारा दिए गए जानकारी को पूरक करते हैं।

विस्थापन के माप को "दूसरे क्रम के औसत" भी कहा जाता है, अर्थात्, केंद्रीय प्रवृत्ति के एक माप से विचलनों का दूसरे बार औसत लेना। यह उस घटना का अनुमान प्रदान करता है, जिस पर दिए गए (मूल) डेटा का संबंध है। इससे सांख्यिकीय विश्लेषण और व्याख्या की सटीकता बढ़ेगी और हम अधिक विश्वसनीय निष्कर्ष निकालने की स्थिति में होंगे।

2. विस्थापन के माप विभिन्न समूहों के बीच तुलना संभव बनाते हैं: यदि मूल डेटा को विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया गया है, तो तुलना संभव नहीं होगी। लेकिन सापेक्ष विस्थापन के माप की मदद से, सभी ऐसी तुलना आसानी से की जा सकती है। दो श्रृंखलाओं की परिवर्तनशीलता के बीच सटीक और विश्वसनीय तुलना के परिणाम विश्वसनीय और सटीक परिणामों की ओर ले जाएगी।

3. विस्थापन के माप कई सामाजिक समस्याओं में बहुत महत्वपूर्ण हैं: देश के विभिन्न क्षेत्रों की सामाजिक समस्याओं की तुलना की जा सकती है और फिर इन सामाजिक बुराइयों को प्रभावी कदम उठाकर समाप्त किया जा सकता है।

4. विस्थापन के माप औसत या केंद्रीय प्रवृत्ति के माप की तुलना से गलत निष्कर्ष निकालने पर एक उपयोगी जांच के रूप में कार्य करते हैं: अंकगणितीय माध्य दो विभिन्न समूहों का समान हो सकता है, लेकिन यह एक समूह की समृद्धि और दूसरे की पिछड़ापन के बारे में नहीं बताएगा। इस प्रकार की आंतरिक संरचना को विस्थापन के अध्ययन से जाना जा सकता है। इसलिए, विस्थापन के अध्ययन की मदद से हम यह निष्कर्ष नहीं निकालेंगे कि दोनों समूह समान हैं। हम यह जान सकते हैं कि एक समूह समृद्ध है और दूसरा पिछड़ा है, केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के चारों ओर परिवर्तनशीलता के मात्रा को जानकर। विस्थापन के माप हमारे सांख्यिकीय विश्लेषण में बहुत मूल्यवान हैं, बशर्ते सापेक्ष (विस्थापन के गुणांक) का उपयोग किया जाए। अन्यथा, जो निष्कर्ष निकाले जाएंगे, वे बहुत हद तक विश्वसनीय और भरोसेमंद नहीं होंगे।