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माध्य - केंद्रीय प्रवृत्ति के माप, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

माध्यिका : परिभाषा

यदि अवलोकनों का एक सेट क्रम (क्रम में या अवरोही क्रम में) में व्यवस्थित किया जाए, तो मध्य में आने वाला या केंद्रीय मान माध्यिका देता है। माध्यिका अवलोकनों को दो समान भागों में विभाजित करती है, इस प्रकार कि माध्यिका से छोटे अवलोकनों की संख्या माध्यिका से बड़े अवलोकनों की संख्या के बराबर होती है। यह अत्यधिक बड़े या छोटे अवलोकनों से प्रभावित नहीं होती। इस प्रकार, माध्यिका एक स्थिति का औसत है। किसी विशेष अर्थ में, यह केंद्रीय प्रवृत्ति का वास्तविक माप है।

इसलिए माध्यिका उन सभी अवलोकनों का मध्य मान है जब उन्हें मानों के आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

माध्यिका की गणना :

(A) सरल डेटा या व्यक्तिगत अवलोकनों की श्रृंखला के लिए :

व्यक्तिगत अवलोकन वे अवलोकन (या विविधताएँ) हैं जिनका कोई आवृत्ति नहीं है या प्रत्येक मामले में आवृत्ति एक होती है।

सबसे पहले, संख्याओं को मानों के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है (आरोही या अवरोही)। अब n (कुल वस्तुओं की संख्या) विषम के लिए।

माध्यिका = वस्तु का मान और n सम के लिए

माध्य - केंद्रीय प्रवृत्ति के माप, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi)

माध्यिका = औसत मान th वस्तु और th वस्तु।

या, माध्यिका = th वस्तु का मान (n = विषम या सम)

[नोट : वस्तु माध्यिका का स्थान देती है, लेकिन इसका माप नहीं।]

माध्यिका की गणना के चरण

डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
n (विषम या सम) खोजें।
सामान्य सूत्र लागू करें और गणना करें।

उदाहरण 25 : 7 छात्रों द्वारा प्राप्त निम्नलिखित अंकों की माध्यिका ज्ञात करें : 4, 12, 7, 9, 14, 17, 16।

(i) अंकों का क्रम : 4, 7, 9, 12, 14, 16, 17।
(ii) n = 7 = विषम संख्या
(iii) माध्यिका = th वस्तु का मान = th वस्तु का मान = 4 th वस्तु का मान = 12 (व्यवस्थित डेटा से ∴ माध्यिका 12 अंक है।

नोट: परिणाम की इकाई वही होगी जो मूल वैरिएट में दी गई है।

उदाहरण 26: अंक का माध्यिका खोजने के लिए: 4, 12, 7, 9, 14, 17, 16, 21

(i) व्यवस्था: 4, 7, 9, 12, 14, 16, 17, 21।
(ii) n = 8 = एक सम संख्या
(iii) माध्यिका = n/2 वें तत्व और (n/2 + 1) वें तत्व का औसत।

= 8/2 वें तत्व और अगले तत्व का औसत = 4 वें तत्व और 5 वें तत्व का औसत

= 12 और 14 अंकों का औसत =

वैकल्पिक तरीका: माध्यिका = h वें तत्व का मान = 4.5 वें तत्व का मान = 1/2 (4 वें तत्व का मान और 5 वें तत्व का मान)

(B) प्रत्यक्ष श्रृंखला (या सरल आवृत्ति वितरण) के लिए, संचयी आवृत्ति (कम से कम प्रकार) की गणना की जाती है। अब संचयी आवृत्ति के अनुरूप चर का मान माध्यिका देता है, जब N कुल आवृत्ति है।

उदाहरण 27: निम्नलिखित की माध्यिका ज्ञात करें

x: 1 2 3 4 5 6 y: 7 12 17 19 21 24

अब, माध्यिका = t वें तत्व का मान = 50.5 वें तत्व का मान।

अंतिम कॉलम से, यह पाया जाता है कि 50.5 संचयी आवृत्ति 36 से अधिक है, लेकिन अगले संचयी आवृत्ति 55 से कम है जो x = 4 के अनुरूप है। सभी 19 तत्व (37 से 55 तक) का समान वैरिएट 4 है। और 50.5 तत्व भी उन 19 तत्वों में से एक है।

∴ माध्यिका = 4।

(C) सतत श्रृंखला (समूहित आवृत्ति वितरण) के लिए, हमें उस विशेष वर्ग का निर्धारण करना है जिसमें माध्यिका का मान स्थित है। इसके लिए हम सूत्र n/2 का उपयोग करते हैं (और नहीं N/2, क्योंकि सतत श्रृंखला में N/2 क्षेत्र को दो समान भागों में विभाजित करता है)। माध्यिका का स्थान ज्ञात करने के बाद, उसकी मात्रा का मापन निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके किया जाता है:

कक्षा की निम्नतम सीमा (l1) उस कक्षा की निम्नतम सीमा है जिसमें माध्यिका स्थित है, कक्षा की निम्नतम सीमा (l2) उस कक्षा की निम्नतम सीमा है जिसमें माध्यिका स्थित है। f_m = वह कक्षा जिसकी आवृत्ति में माध्यिका आती है।

m = मध्य वस्तु (अर्थात, वह वस्तु जिस पर माध्यिका स्थित होती है या N/2 वीं वस्तु)। C = कक्षा की वह संचयी आवृत्ति जो माध्यिका कक्षा से पूर्व की कक्षा से कम होती है।

नोट: उपरोक्त सूत्र इस धारणा पर आधारित है कि उस कक्षा की आवृत्तियाँ जिनमें माध्यिका स्थित है, समरूप रूप से पूरी कक्षा-आवृत्ति में वितरित हैं।

याद रखें: समूह आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका की गणना करते समय कक्षा-आवृत्तियाँ निरंतर रूप में होनी चाहिए। यदि कक्षा-आवृत्तियाँ विवर्तनिक रूप में दी गई हैं, तो उन्हें पहले निरंतर या कक्षा-सीमाओं के रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए और फिर माध्यिका की गणना के लिए सामान्य सूत्र को लागू करें।

उदाहरण 28: नीचे दिए गए डेटा की माध्यिका और माध्यिका-कक्षा ज्ञात कीजिए:

समाधान:

माध्यिका = N/2 वीं वस्तु = 50/2 वीं वस्तु = 25 वीं वस्तु, जो संचयी आवृत्ति 15 से अधिक है। इसलिए माध्यिका कक्षा 35–45 में है।

जहाँ l1 = 35, l2 = 45, f = 19, m = 25, c = 15

आवश्यक माध्यिका 40.26 है और माध्यिका-कक्षा (35 – 45) है।

उदाहरण 29: नीचे दी गई तालिका की माध्यिका का मूल्यांकन करें:

कक्षा आवृत्ति: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50

आवृत्ति: 5, 4, 6, 3, 2

माध्यिका = N/2 वीं वस्तु = 20/2 (=10) वीं वस्तु, माध्यिका कक्षा (20–30) है।

विभाजित समूहित वितरण से माध्यिका की गणना

यदि समूहित आवृत्ति वितरण के वर्ग अंतराल विविक्त रूप में हों, तो पहले उन्हें वर्ग सीमाओं में परिवर्तित किया जाना चाहिए और फिर सामान्य सूत्र का उपयोग करके माध्यिका ज्ञात की जानी चाहिए। नीचे दिए गए उदाहरण से यह विचार स्पष्ट होगा।

माध्यिका वर्ग और माध्यिका की गणना करें।

समाधान:

वर्ग अंतराल विविक्त रूप में हैं। पहले इन्हें वर्ग सीमाओं में परिवर्तित किया जाना चाहिए, जो नीचे दिखाया गया है:

माध्यिका = Nth/2 पद का मान = 62th/2 पद का मान या 31st पद का मान ∴ माध्यिका (39.5 – 49.5) में स्थित है

यहां l1 = 39.5, l2 = 49.5, fm = 20, m = 31, c = 27 यहां l1 = 39.5, l2 = 49.5, fm = 20, m = 31, c = 27 माध्य - केंद्रीय प्रवृत्ति के माप, व्यावसायिक गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi)

संवृत्त आवृत्ति वितरण से माध्यिका की गणना

इस मामले में पहले संवृत्त आवृत्ति को सामान्य समूह आवृत्ति वितरण में परिवर्तित किया जाना चाहिए। फिर सामान्य सूत्र का उपयोग करके माध्यिका की गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 31:

समाधान: सामान्य समूह आवृत्ति वितरण इस प्रकार है:

माध्यिका = Nth/2 पद का मान = 22th/2 पद का मान = 11th पद का मान ∴ माध्यिका वर्ग (20 – 30) है

= 20 + 10/9 (11 – 8), यहां l1 = 20, l2 = 30, fm = 9, m = 11, c = 8

= 20 + 10/9 = 20 + 3.33 = 23.33 अंक

नोट: यदि संवृत्त आवृत्ति वितरण 'से अधिक प्रकार' रूप में दिया गया है, तो भी वही प्रक्रिया अपनाई जानी चाहिए।

उदाहरण 32: आवृत्ति वितरण का माध्यिका ज्ञात करें। अंक: 1–20, 21–40, 41–60, 61–80, 81–100, छात्र संख्या: 3, 5, 9, 3, 2

समाधान: वर्ग अंतराल विविक्त रूप में हैं, इसलिए पहले इन्हें वर्ग सीमाओं में परिवर्तित किया जाना चाहिए। माध्यिका = 22th/2 पद का मान = 11th पद का मान ∴ माध्यिका वर्ग (40.5 – 60.5) है।

खुले अंत वर्ग अंतराल से माध्यिका की गणना: पहले और अंतिम वर्ग अंतराल को माध्यिका की गणना में आवश्यक नहीं माना जाता है, इसलिए खुले अंत वर्ग अंतराल के मामले में माध्यिका की गणना सामान्य प्रक्रिया द्वारा की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि पहले वर्ग अंतराल की निचली सीमा (यानी 0) और अंतिम वर्ग की ऊपरी सीमा (यानी 5) प्रश्न में नहीं दी गई है, तो माध्यिका की गणना करने में कोई कठिनाई नहीं होगी। खुले अंत वर्ग अंतराल के मामले में, माध्यिका का उपयोग A.M. की तुलना में अधिक किया जाता है।

गुमनाम आवृत्ति की खोज: गुमनाम आवृत्ति को खोजने का विचार निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट होगा।

यह दिया गया है कि उपरोक्त वितरण की माध्यिका 32.5 अंक है। गुमनाम आवृत्ति खोजें।

हल:

यहाँ माध्यिका = 32.5 (दिया गया), इसलिए माध्यिका वर्ग (30–40) है।

मान लें कि f3 गुमनाम आवृत्ति है। सूत्र से,

हमें मिलता है।

माध्यिका के लाभ:

(i) माध्यिका, औसत के विपरीत, चर के चरम मानों से प्रभावित नहीं होती।
(ii) इसे गणना करना सरल और समझने में आसान है, विशेष रूप से व्यक्तिगत अवलोकनों की एक श्रृंखला में।
(iii) यह आगे की बीजगणितीय प्रक्रिया के लिए सक्षम है। इसका उपयोग माध्यिका विचलन की गणना में किया जाता है।
(iv) इसे निरीक्षण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, डेटा को क्रम में व्यवस्थित करने के बाद।
(v) माध्यिका की गणना की जा सकती है, भले ही चरम पर आइटम ज्ञात न हों, लेकिन यदि हम केंद्रीय आइटम और कुल आइटम की संख्या जानते हैं।
(vi) इसे चित्रात्मक रूप से भी निर्धारित किया जा सकता है।

माध्यिका के नुकसान:

(i) गणना के लिए, डेटा को व्यवस्थित करना आवश्यक है; अन्य औसत के लिए ऐसी व्यवस्था की आवश्यकता नहीं होती।
(ii) यह बीजगणितीय उपचार के लिए सीमित रूप से सक्षम है, माध्यिका का उपयोग दो या अधिक समूहों की संयुक्त माध्यिका की गणना के लिए नहीं किया जा सकता है, जैसे औसत।
(iii) जब यह दो आइटमों के बीच होता है, तब इसे सटीक रूप से गणना नहीं किया जा सकता।
(iv) निरंतर श्रृंखला के मामले में माध्यिका की गणना की प्रक्रिया का पालन करना कठिन है।
(v) माध्यिका नमूना उतार-चढ़ाव से औसत की तुलना में अधिक प्रभावित होती है।

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