ज्यामितीय माध्य - केंद्रीय प्रवृत्ति के माप, व्यवसाय गणित और सांख्यिकी | SSC CGL Tier 2 - Study Material, Online Tests, Previous Year (Hindi) PDF Download

ज्यामितीय माध्य (G. M.) की परिभाषा: n सकारात्मक मानों x1, x2, x3, ……, xn का ज्यामितीय माध्य (G) उन मानों के गुणनफल का nth मूल होता है। अर्थात्

अब दोनों पक्षों पर लॉगेरिदम लेते हैं, हम पाते हैं:

इस प्रकार, सूत्र (1) से हम पाते हैं कि x1, x2, …., xn का G. M. का लॉगेरिदम = x1, x2, …..., xn के लॉगेरिदम का A.M.

गुण:

• n मानों के गुणनफल का मूल्य उनके G. M. का nth घात के बराबर होता है। अर्थात्, x1, x2, ……, xn = Gn (यह परिभाषा से स्पष्ट है)।
• n अवलोकनों के G. M. का लॉगेरिदम n अवलोकनों के लॉगेरिदम के A.M. के बराबर होता है। [सूत्र (1) इसे बताता है।]
• n अवलोकनों में से प्रत्येक अवलोकन का G. M. के अनुपात का गुणनफल हमेशा एक होता है। यदि G n अवलोकनों x1, x2, ……, xn का ज्यामितीय माध्य है, तो प्रत्येक अवलोकन का अनुपात ज्यामितीय माध्य के लिए होता है:

परिभाषा के अनुसार, अब अनुपातों का गुणनफल:

जहाँ N = n1 n2 ….. अर्थात्, log

उदाहरण 15: संख्या 4, 12, 18, 26 का G. M. ज्ञात करें।

समाधान:

भारित ज्यामितीय माध्य: यदि f1, f2, f3……fn क्रमशः n भिन्नताओं x1, x2, x3,…….xn की आवृत्तियाँ हैं, तो भारित G. M. इस प्रकार होगा:

अब लॉगेरिदम लेते हैं।

G. M. की गणना के चरण:

• 1. भिन्नता x के सभी मानों का लॉगेरिदम लें।
• 2. प्राप्त मानों को संबंधित आवृत्ति से गुणा करें।
• 3. f log x ज्ञात करें और इसे f से विभाजित करें। अर्थात्, गणना करें।
• 4. अब प्राप्त अंश का एंटी-लॉग आवश्यक G. M. होगा। ऊपर दिए गए विचार को निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट किया जाएगा।

उदाहरण 16: नीचे दिए गए तालिका का (भारित) जी. एम. ढूंढें:

ज्यामितीय माध्य के लाभ:

• (i) यह अत्यधिक वस्तुओं से उसी हद तक प्रभावित नहीं होता है जैसे कि माध्य।
• (ii) यह कठोरता से परिभाषित होता है और इसका मान एक सटीक आंकड़ा होता है।
• (iii) यह सभी अवलोकनों पर आधारित होता है और आगे के बीजगणितीय उपचार के लिए सक्षम होता है।
• (iv) यह गणनांक संख्याओं की गणना में उपयोगी होता है।

ज्यामितीय माध्य के नुकसान:

• (i) इसे न तो आसानी से गणना किया जा सकता है और न ही इसे समझना सरल होता है।
• (ii) यदि अवलोकनों के किसी सेट का कोई मान शून्य है, तो ज्यामितीय माध्य शून्य हो जाएगा और इसे निर्धारित नहीं किया जा सकता।
• (iii) यदि कोई मान नकारात्मक है, तो जी. एम. काल्पनिक हो जाता है। [उपयोग: इसका उपयोग परिवर्तन की दरों के औसत को खोजने के लिए किया जाता है।]