Test: घातांक - 1 - CTET & State TET MCQ

2²⁵ + 2²⁵ का मान निर्धारित करने के लिए, हम घातांक के गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

चरण 1: 2²⁵ + 2²⁵ = 2 × 2²⁵।

चरण 2: 2 × 2²⁵ = 2¹⁺²⁵ = 2²⁶।

इसलिए, सही उत्तर 2²⁶ है, जो विकल्प A के अनुरूप है।

दिया गया 2² x 8³ = 2 x 4^z

⇒ 2² x 2^3.3 = 2 x 2^2z

⇒ 2¹¹ = 2^1+2z

⇒ 11 = 1 + 2z

⇒ 10 = 2z

⇒ z = 5

⇒  + 

⇒  + 

⇒  + 

⇒ 

⇒ 

⇒ 8

यह व्यंजना निम्नलिखित रूप में सरल होती है: 3ⁿ + 3ⁿ + 3ⁿ - 3^n-2 = 3 × 3ⁿ - 3^n-2। यह 3ⁿ⁺¹ - 3^n-2 में बदलता है, जिसे 3^n-2(3³ - 1) = 3^n-2 × 26 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। 26 के अभाज्य गुणांक 2 और 13 हैं। इस प्रकार, सबसे बड़ा अभाज्य गुणांक 13 है।

(1) x = 2, y अज्ञात है। अपर्याप्त
(2) x और y अज्ञात हैं। अपर्याप्त
(1)+(2) केवल संभावना x=2, y=0; पर्याप्त
C सही है

हमें n का मान खोजना है, दिया गया है 2(−3⁴ⁿ)=18(27)ⁿ⁺²

(दोनों पक्षों पर 2 को रद्द करना। साथ ही इस तथ्य का उपयोग करना कि 3^2k = (-3)^2k)

चरण 1: प्रश्न का कथन और निष्कर्ष

हमें दिया गया है कि यह पैमाना एक एक्स्पोनेंशियल स्केल है। इसका मतलब है कि इस स्केल पर प्रत्येक पद पिछले पद के एक निश्चित मान से गुणा किया गया है।

चरण 2 और 3: भिन्न को सरल करना और अंतिम उत्तर की गणना करना

हमें दिया गया है कि स्केल पर 2^रा पद = 25 = 5²

स्केल पर 4^था पद = 625 = 5⁴

यहां से, हम यह पैटर्न पहचान सकते हैं कि:

स्केल पर n^वां पद = 5ⁿ

इस प्रकार, स्केल पर 3^रा पद = 5³ = 125

उत्तर: विकल्प (C)

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

यह मानते हुए कि P एक सकारात्मक पूर्णांक है और 1 < p="">< 30="">

हमें P का मान ज्ञात करना है।

चरण 3: कथन 1 का विश्लेषण करें

यह बताया गया है कि P के कम से कम दो अभाज्य गुणांक हैं।

• P एक यौगिक संख्या है जिसमें दो या अधिक अभाज्य गुणांक हैं।

हालांकि, 1 और 30 के बीच एक से अधिक यौगिक संख्याएँ हैं। P के संभावित मान हैं:

स्पष्ट है कि कथन (1) हमें P का एक अद्वितीय मान नहीं देता है।

पर्याप्त नहीं।

चरण 4: कथन 2 का विश्लेषण करें

कथन 2 कहता है कि P का घन 300 से कम है।

आइए हम प्राकृतिक संख्याओं के घनों को सूचीबद्ध करें।

1 और 30 के बीच 5 प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनके घन 300 से कम हैं।

कथन 2 अकेले एक अद्वितीय उत्तर पर पहुँचने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

कथन 1 से,

P के संभावित मान: 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26

कथन 2 से,

P के संभावित मान: 2, 3, 4, 5, 6

दोनों कथनों को मिलाकर, हमें मिलता है:

P = 6

इसलिए, कथन 1 और कथन 2 का संयोजन एक अद्वितीय उत्तर प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।

सही उत्तर: C

दी गई अभिव्यक्ति है:

ध्यान दें कि 15 = 3*5

36 = 6²

33 = 3*11

72 = 36*2 = 6²*2

इसलिए

= 

सही उत्तर: C

पहले हमें दिए गए जानकारी को समझना चाहिए।

प्रश्न में आधी-जीवन के बारे में निम्नलिखित कहा गया है:

• आधी-जीवन को एक रेडियोधर्मी पदार्थ के द्रव्यमान के आधे में कम होने के लिए लिया गया समय परिभाषित किया गया है।

यहां ध्यान देने वाली रोचक बात यह है कि आधी-जीवन स्पष्ट रूप से रेडियोधर्मी पदार्थ के प्रारंभिक द्रव्यमान पर निर्भर नहीं है।

दूसरे शब्दों में, यदि किसी विशेष रेडियोधर्मी पदार्थ का आधी-जीवन 2 वर्ष है, तो इसे

• 1000 किलोग्राम से 500 किलोग्राम में कम होने में 2 वर्ष लगते हैं
• 500 किलोग्राम से 250 किलोग्राम में कम होने में 2 वर्ष लगते हैं
• 250 किलोग्राम से 125 किलोग्राम में कम होने में 2 वर्ष लगते हैं और इसी तरह।

यह हमारे लिए रेडियोधर्मी पदार्थ के अपघटन के लिए समय की गणना करना आसान बना देता है क्योंकि हम केवल आधी-जीवन की संख्या को गिनेंगे।

हमें यह पता लगाना है कि एक X ग्राम के रेडियोधर्मी तत्व का ब्लॉक लगभग X/8 ग्राम में कम होने में कितना समय लगेगा।

जैसा कि हमने पहले देखा,

1 आधी-जीवन में, बचे हुए तत्व की मात्रा = ½ * X

2 आधी-जीवन में, बचे हुए तत्व की मात्रा = ½ * ½ * X = (½)² * X

मान लेते हैं कि आधी-जीवन की संख्या = n।

तो n आधी-जीवन में, बचे हुए तत्व की मात्रा = (½)ⁿ * X

यह दिया गया है कि बचे हुए द्रव्यमान मूल मात्रा का 1/8 है।

इसलिए बचे हुए तत्व की मात्रा = X/8

यह हमें देता है (½)ⁿ * X = X/8

• (½)ⁿ = 1/8
• (½)ⁿ = (½)³
• n = 3

इसलिए, समय लिया गया = 3 आधी-जीवन = 3*3 = 9 वर्ष।

सही उत्तर: बी

हमें 4m - 2n का मान ज्ञात करना है।

दिया गया अभिव्यक्ति:

अतः, 4m - 2n = 2 * (2m - n) = 18

सही उत्तर: E

चरण 1: प्रश्न कथन और निष्कर्ष

x^y ≥ 1 यदि इनमें से एक चीज सत्य है। यह तब होता है जब

1. x और y दोनों सकारात्मक हैं (2³), या
2. x नकारात्मक है और y सकारात्मक और सम है।

ध्यान दें, नकारात्मक y हमारी मदद नहीं करता क्योंकि किसी भी पूर्णांक को नकारात्मक शक्ति में उठाने पर वह 1 से अधिक नहीं हो सकता। इसलिए आइए यह पता लगाते हैं कि क्या x और y उपरोक्त दो मानदंडों में से किसी एक को पूरा करते हैं।

चरण 3: कथन 1 का विश्लेषण करें

1) y = -x

कथन 1 कहता है कि y और x के विपरीत संकेत हैं।

मान लीजिए कि x = 2

इसका मतलब है, y = -2

तो x^y = 2^-2 = ¼ जो 1 से कम है।

अब हम मामले पर विचार करते हैं x = -2

इसका मतलब है, y = 2

तो, x^y = (-2)² = 4, जो 1 से अधिक है।

इस प्रकार, हम समझते हैं कि कथन 1 हमें निश्चित उत्तर की ओर नहीं ले जाता। इसलिए, कथन 1 अपर्याप्त है।

चरण 4: कथन 2 का विश्लेषण करें

y = 2^k जहां k एक गैर-शून्य पूर्णांक है।

हमें दिया गया है कि k शून्य के बराबर नहीं हो सकता।

क्या k एक नकारात्मक पूर्णांक हो सकता है?

उत्तर है नहीं। क्योंकि यदि k एक नकारात्मक पूर्णांक होता, तो y एक भिन्न बन जाता (उदाहरण के लिए, मान लीजिए k = -3। तब y = 2^-3 = 1/8)

लेकिन, हमें दिया गया है कि y एक पूर्णांक है।

यह केवल संभव है यदि k एक सकारात्मक पूर्णांक हो।

इस प्रकार, k केवल सकारात्मक मान ले सकता है और y 2 का सकारात्मक गुणांक है।

x एक सकारात्मक या नकारात्मक पूर्णांक हो सकता है, लेकिन जब इसे सम शक्ति में उठाया जाता है, तो परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

यदि x = -1 या 1 हो, तो x^y का मान 1 के बराबर होगा। x के किसी अन्य अनुमत मान के लिए (याद रखें: x = 0 अनुमत नहीं है), x^y का मान 1 से अधिक होगा।

कथन 2 पर्याप्त है।

उत्तर: विकल्प (B)

चरण 1 और 2: प्रश्न को समझें और निष्कर्ष निकालें

यह दिया गया है कि P सकारात्मक है और 1 < p=""><>

यह भी दिया गया है कि P एक पूर्ण वर्ग है।

इसका मतलब है कि P एक पूर्णांक का वर्ग है।

अत: P के संभावित मान 4, 9, 16, और 25 हैं।

चरण 3: वक्तव्य 1 का विश्लेषण करें

यह दिया गया है कि P में कम से कम एक प्रमुख कारक है।

1 से बड़ा हर संख्या में कम से कम एक प्रमुख कारक होता है।

यह वक्तव्य हमें P के चार संभावित मानों में से किसी एक को समाप्त करने में मदद नहीं करता है।

इसलिए, वक्तव्य 1 एक अद्वितीय उत्तर पर पहुंचने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 4: वक्तव्य 2 का विश्लेषण करें

यह दिया गया है कि P का घन 300 से कम है।

देखें कि केवल 4 इस स्थिति को संतुष्ट करता है।

4³=64

9³=729

(चूंकि 9³ स्वयं 300 से अधिक है, यह स्पष्ट है कि 16³ और 25³ भी 300 से अधिक होंगे।)

इसलिए, P के लिए केवल संभावित मान 4 है।

वक्तव्य 2 एक अद्वितीय उत्तर पर पहुंचने के लिए पर्याप्त है।

चरण 5: दोनों वक्तव्यों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

हमने चरण 4 में एक अद्वितीय उत्तर पर पहुंचा। इसलिए इस चरण की आवश्यकता नहीं है।

सही उत्तर: B

यह देखते हुए कि k एक पूर्णांक है, हमें इस अभिव्यक्ति का मान खोजने की आवश्यकता है।

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाते हुए, हमें मिलता है:

इसके लिए हमें k का मान चाहिए।

चरण 3: कथन 1 का विश्लेषण करें

दिया गया है 2^r - 2^k = 2⁶ (यह यह भी बताता है कि r ≠ k और r > k)

• (2^k)*(2^r-k - 1) = 2⁶…… (I)

आइए हम (I) में दिए गए समीकरण को समझने का प्रयास करें।

RHS पूरी तरह से 2 की शक्ति है।

इसलिए LHS पर उत्पाद में किसी अन्य प्रमुख संख्या की शक्ति नहीं हो सकती।

2^k निश्चित रूप से 2 की शक्ति है।

लेकिन (2^r-k - 1) के बारे में क्या?

यह स्पष्ट है कि यह एक विषम संख्या है। (किसी सकारात्मक संख्या की शक्ति में 2 हमेशा एक सम संख्या होगी। सम संख्या - विषम संख्या = विषम संख्या)

इसलिए (2^r-k - 1) के लिए केवल संभावित मान 1 है। (कोई अन्य विषम संख्या LHS में एक नया प्रमुख संख्या पेश करेगी।)

• 2^r-k - 1 = 1

यदि 2^r-k - 1 = 1, तो (I) से, 2^k = 2⁶

• k = 6

हमें k का एक अद्वितीय मान मिला। इसलिए हम दिए गए अभिव्यक्ति का मान निकाल सकते हैं।

कथन 1 एक अद्वितीय उत्तर तक पहुंचने के लिए पर्याप्त है।

चरण 4: कथन 2 का विश्लेषण करें

दिया गया समीकरण है

 14 + k = 3k - 2r

• 2k = 2r + 14
• k = r + 7

यह हमें दिए गए अभिव्यक्ति का मान निकालने में मदद नहीं करता।

कथन 2 अकेले एक अद्वितीय उत्तर तक पहुंचने के लिए पर्याप्त नहीं है।

चरण 5: दोनों कथनों का एक साथ विश्लेषण करें (यदि आवश्यक हो)

हम चरण 3 में एक अद्वितीय उत्तर तक पहुंचे। इसलिए यह चरण आवश्यक नहीं है।

सही उत्तर: A